Problèmes de calcul pour le choix des filtres

Situation:

La suspension avec le débit Q_susp = 10 m³/h est séparée sur le filtre, avec cela le débit du produit filtré est de Q_filtr = 9,5 m³/h. Les densités des phases solide et liquide sont égales respectivement à ρ_s = 1700 kg/m³, ρ_l = 1000 kg/m³. Les mesures montrent que la densité du produit filtré et du dépôt sont respectivement: ρ_filtr = 1020 kg/m³ et ρ_dep = 2100 kg/m³. Il faut déterminer la densité et la concentration massique d'une phase solide dans cette suspension.

Solution:

Faisons les équations du bilan des matériaux de ce processus:

Q_susp·ρ_susp = Q_dep·ρ_dep+Q_filtr·ρ_filtr

Le débit du dépôt Q_dep peut être exprimé à l'aide des débits volumiques de la suspension et du produit filtré:

Q_dep = Q_susp-Q_filtr = 10-9,5 = 0,5 m³/h

Exprimons la densité de la suspension à partir de l'équation du bilan des matériaux et déterminons-la:

ρ_susp = (Q_dep·ρ_dep+Q_filtr·ρ_filtr)/Q_susp = (0,5·2100+9,5·1020)/10 = 1074 kg/m³

Désignons la part d'une phase solide dans la suspension comme m et faisons une équation suivante pour déterminer la densité de la suspension:

1/ρ_susp = (1-m)/ρ_l +m/ρ_s

Mentionnons les valeurs numériques et trouvons l'inconnue m:

1/1074 = (1-m)/1000+m/1700

D'où vient la valeur de la part d'une phase solide dans la suspension:

m = 0,17

Réponse: la densité de la suspension est égale à 1074 kg/m³, la part d'une phase solide dans la suspension est de 0,17

Situation:

Il faut calculer une surface nécessaire de filtration du filtre à vide à tambour qui est capable de fonctionner avec la suspension sous charge Q = 32 m³/h. La fréquence de rotation du tambour est de n = 0,2 t/min. Le modèle de laboratoire montre que le rapport du volume du dépôt au volume du produit filtré est de x = 0,07, et la hauteur d'une couche de dépôt lors du recalcul du modèle de service est de h = 0,02 m.

Solution:

Déterminons le temps du cycle complet de filtration du filtre à vide à tambour:

t = 1/n = 60/0,2 = 300 sec.

Puis il faut calculer le volume spécifique du produit filtré selon la formule:

v_spec = h/x = 0,02/0,07 = 0,29

Enfin il faut déterminer une valeur demandée en prenant le coefficient de correction K_corr égal à 0,8:

F = (Q·t)/(υ_spec·Kcorr) = (32·300)/(3600·0,29·0,8) = 11,5 m²

Réponse: 11,5 m²

Situation:

Il existe un nutsch-filtre capable de filtrer V_susp=3,2 m³ de suspension pour un chargement. La suspension filtrée contient x = 15% d'une phase solide de masse et a une densité ρ_susp = 1100 kg/m³. Après l'achèvement du processus de filtration il existe un dépôt où l'humidité est de w = 74% et la densité est de ρ_dep 1185 kg/m³. Il faut trouver le volume du produit filtré formé V_filtr à condition que y = 2% d'une phase solide passe à travers le filtre sans arrêt.

Solution:

Trouvons la quantité d'une phase solide apportée sur le filtre avec la suspension purifiée:

G_sf1 = V_susp·ρ_susp·x/100 = 3,2·1100·15/100 = 528 kg

Trouvons la quantité d'une phase solide qui n'est pas captée par le nutsch-filtre:

G_sf2 = G_sf1·y/100 = 528·2/100 = 10,56 kg

La quantité d'une phase solide sur le filtre sera égale à:

G_sf3 = G_sf1-G_sf2 = 528-10,56 = 517,44 kg

En sachant l'humidité du dépôt formé, trouvons le poids total du dépôt:

G_dep = G_sf3/w·100 = 517,44/74·100 = 699,24kg

Donc, le volume du dépôt formé sera égal à:

V_dep = G_dep/ρ_dep = 699,24/1185 = 0,59 m³

D'où le volume du produit filtré formé sera égal à:

V_filtr = V_susp-V_dep = 3,2-0,59 = 2,61 m³

Réponse: 2,61 m³

Situation:

On a établi lors du démarrage d'essais du filtre: V₁ = 1 m³ du produit filtré dans t₁ = 4,5 min, et V₂ = 2 m3 du produit filtré dans t₂ = 12 min. La surface totale de filtration est de F = 1,6 m². La capacité de production de produit filtré nécessaire du filtre est de Q = 16 m³. Il faut calculer la durée d'un fonctionnement du filtre par jour.

Solution:

Trouvons les valeurs relatives du produit filtré recueilli lors du démarrage d'essais du filtre:

V_1F = V₁/F = 1/1,6 = 0,625 m³/m²

V_2F = V₂/F = 2/1,6 = 1,25 m³/m²

Faisons le système des équations de filtration sur la base des données du démarrage d'essais et déterminons les constantes de filtration:

En utilisant cette équation trouvée de filtration, il fait déterminer une valeur demandée à l'aide du volume relatif du produit filtré nécessaire:

(16/1,6)²+2·16/1,6·0,62 = 0,26·t_tot

D'où la valeur t_tot = 7,2 heures. Compte tenu de la surface complète de filtration

Réponse: 7,2 heures.

Situation:

Il existe le filtre à vide à tambour avec des caractéristiques suivantes: Les angles des sections de filtration, de lavage et de séchage sont égaux respectivement à φ_f = 110°C, φ_l = 130°C et φ_sech = 60°C. Le temps de ces opérations est: t_f = 4 min, t_l = 6 min et t_sech = 2 min. Il faut calculer la fréquence de rotation du tambour.

Solution:

Avec ces données la fréquence de rotation du tambour du filtre doit être calculée en utilisant deux équations de calcul de la fréquence de rotation et en sélectionnant après la plus petite valeur des valeurs obtenues.

La première fréquence de rotation du tambour est calculée selon la formule:

n₁ = φ_f/(360·t_f) = 110/(360·4·60) = 0,00127 s^(-1)

La deuxième fréquence de rotation du tambour est calculée selon la formule:

n₂ = (φ_l+φ_sech)/(360·[t_l+t_sech]) = (130+60)/(360·[6+2]·60) = 0,0012 s^(-1)

En comparant deux valeurs obtenues de la fréquence de rotation du tambour, nous recevons:

n₁>n₂

Donc, la valeur demandée est de 0,0012 s^-1.

Réponse: 0,0012 s^-1

Situation:

Le mécanisme de fermeture du filtre-presse est capable de développer l'effort de P = 2·10⁴ H. Les dimensions de la surface de service d'une plaque sont 300х300 mm, la largeur de la ligne de compactage est de 20 mm. Il faut calculer la pression maximale d'amenée de la suspension.

Solution:

Il faut calculer préalablement les surfaces de filtration et de compactage d'une cellule. La surface de filtration d'une cellule est de:

F_filtr = 0,3·0,3 = 0,09 m²

La surface de compactage (sous forme de cadre):

F_comp = (0,3+2·0,02)·(0,3+2·0,02)-0,3·0,3 = 0,0256 m²

Examinons l'équation pour déterminer l'effort nécessaire d'étanchéification:

P = Q_d+R_p

où:

Q_d = p·F_filtr

R_p = m·p·F_comp

En général, l'équation de l'effort d'étanchéification est représentée comme suit:

P = p·F_filtr+m·p·F_comp

En appliquant le coefficient de correction m = 3, utilisons les valeurs connues et trouvons la charge principale de service p:

40000 = p·0,09+3·p·0,0256

D'où:

p = 0,24·[10]⁶ H

Puis il faut déterminer la pression maximale possible de la suspension à l'entrée:

P_max = p/F_filtr = (0,24·[10]⁶)/0,09 = 2,7 MPa

Réponse: 2,7 MPa

Situation:

Il faut trouver la capacité de production filtre à sable fermé avec le diamètre de la partie cylindrique D = 2 m (le bouchage des pores peut être négligé). Le sable de remplissage du filtre a des propriétés suivantes: Diamètre des grains de sable: d = 0,5 mm. Porosité d'une couche de sable: x = 0,42. L'épaisseur d'une couche de sable: l = 1,6 m. La filtration est exercée à la température T = 20 °C. Il est établi que la perte de pression dans le filtre est de h = 4,5 m de colonne d'eau.

Solution:

Calculons la vitesse de filtration (le coefficient de correction est égal à 40):

w = 3600·c·d²·h/l·(0,7+0,03·t) = 3600·40·[0,0005]²·4,5/1,6·(0,7+0,03·20) = 0,13 m/s

Puis il faut trouver la surface d'une section de passage d'une couche de filtration (où F est la surface de la section transversale du filtre):

F_pass = F·x = (π·D²)/4·x = (3,14·2²)/4·0,42 = 1,32 m²

Il est possible de déterminer une valeur demandée à partir des valeurs trouvées:

Q = w·F_pass = 0,13·1,32 = 0,17 m³/s

Réponse: 0,17 m³/s

Situation:

Il est planifier d'utiliser pour la purification des eaux usées en volume Q = 1000 m³/24 heures les filtres à sable avec des caractéristiques suivantes: La vitesse de calcul de filtration est de v = 10 m/h. Le filtre doit être lavé tous les sept heures, la durée de lavage est de t = 0,2 h. q = 10 m³ d'eau est utilisé pour un lavage. Le travail est effectué 24 h sur 24, le temps total de fonctionnement est de t_tot = 24 h. Il faut calculer le nombre nécessaire de filtres.

Solution:

Comme le filtre doit être lavé tous les sept heures, pour une période de 24 heures:

n = 24/7≈3

Calculons la surface nécessaire de filtration:

F = Q/(t_tot·v-n·q-n·t·v) = 1000/(24·10-3·10-3·0,2·10) = 4,9 m²

Le nombre nécessaire de filtres est déterminé selon la formule:

N = 0,5·√F = 0,5·√4,9 = 1,1

Forçons le nombre jusqu'au nombre entier plus grand et trouvons une valeur demandée: 2.

Réponse: 2 filtres.

Situation: Les particules de sable quartzeux sont précipitées dans l'eau à la température de t = 20 °C, la densité du sable quartzeux est de ρ_sabl = 2600 kg/m³. Pour la résolution du problème il faut considérer que la forme des grains est sphérique d'un diamètre de d = 1,2 mm.

Problème: Déterminer la vitesse de précipitation des particules v_pr.

Solution: Pour résoudre ce problème il faut utiliser l'équation critérielle pour le processus de précipitation:

Re²·ζ = 4/3·Ar

En premier lieu, il faut calculer le critère d'Archimède (Ar). Considérons que la densité de l'eau à la température de 20°C est de ρ_eau = 1000 kg/m³, la viscosité dynamique: μ = 0,01 Pa s, et utilisons les valeurs connues pour la formule de calcul (g = 9,81 m/s – accélération de la gravité):   

Ar = [g·ρ_l·d³·(ρ_s-ρ_l)] / μ² = (9,81·1000·0,0012³·(2600-1000)) / 0,001² = 27123

Cette valeur obtenue du critère d'Archimède est dans la limite de 36<Ar<83000 qui correspond au mode transitoire de précipitation pour lequel le coefficient de résistance (ζ) doit être calculé selon la formule:

ζ = 18,5/Re^0,6

Utilisons la fonction obtenue et la valeur Ar dans l'équation critérielle initiale et déterminons la valeur du critère Re:

Re² · (18,5/Re^0,6) = (4/3)·27123

Re^1,4 = 1955

Re = 224,3

Écrivons l'équation pour le critère de Reynolds, puis exprimons et calculons une valeur demandée:

Re = (ρ_eau·v_pr·d) / μ

v_pr= (Re·μ) / (ρ_eau·d) = (224,3·0,001) / (1000·0,0012) = 0,187 m/s

Réponse: 0,187 m/s

Situation: Pour purifier le flux d'eau trouble il faut utiliser la citerne de décantation. Il est connu que la phase dispersée dans l'eau est présentée en général par les particules solides d'une forme inconnue d'un poids de m_ч = 2 mg et d'une densité de ρ_s = 1800 kg/m³. Le débit de l'eau à purifier est de Q = 0,6 m³/h. Prendre la densité de l'eau ρ_eau = 1000 kg/m³ et la viscosité dynamique μ = 0,001 Pa·s pour les les calculs. Il est établi aussi que la précipitation se produit dans les conditions difficiles, la part volumétrique d'une phase dispersée est de ε = 0,5.

Problème: Déterminer la surface nécessaire de précipitation de la citerne de décantation.

Solution: Il est possible de déterminer la valeur de calcul de la surface de précipitation à l'aide de la formule:

F = Q/v_dif

Où v_dif – la vitesse de précipitation difficile des particules.

Pour déterminer v_dif il faut d'abord calculer le critère d'Archimède (g = 9,81 m/s² – accélération de la gravité):

Ar = [ρ_l·g·d_part³·(ρ_s-ρ_l)] / μ²

Dans cette formule de calcul du critère d'Archimède d_ч est le diamètre d'une particule précipitable. La forme des particules d'une phase solide est inconnue, c'est pourquoi il faut utiliser la formule suivante pour la calculer:

d_part = [(6·V_part)/π]^1/3

V_part – volume d'une particule qui peut être exprimé par le rapport du poids connu d'une particule à sa densité V_part = m_part/ρ_part. En faisant ce remplacement, nous pouvons calculer la valeur d_part:

d_part = [(6·m_part) / (π·ρ_part)]^1/3 = [(6·0,000002) / (3,14·1800)]^1/3 = 0,00128 m

Il est possible maintenant de calculer le critère d'Archimède:

Ar = [ρ_l·g·d_part³·(ρ_s-ρ_l)] / μ² = (1000·9,81·0,00128³·(1800-1000)) / 0,001² = 16458

En utilisant l'équation critérielle qui lie le critère d'Archimède et celui de Reynolds (Re_dif) pour la précipitation difficile, nous pouvons calculer Re_dif:

Re_dif = (Ar·ε^4,74) / (18+0,6·√(Ar·e^4,75)) = (16458·0,5^4,74) / (18+0,6·√16458·0,5^4,75) = 18,8

Maintenant, lorsque le critère de Reynolds pour la précipitation difficile est connu, il est possible d'utiliser une autre formule de son calcul où est appliqué la vitesse de précipitation des particules dans les conditions difficiles. Puis il faut exprimer et calculer v_dif:

Re_dif = (ρ_l·v_dif·d_part) / μ

v_dif = (Re_dif·μ) / (ρ_l·d_part) = (18,8·0,001) / (1000·0,00128) = 0,015 m/s

Toutes les valeurs étant connues, il est possible de déterminer une valeur demandée:

F = Q/v_dif = 0,6/0,015 = 40 m²

Réponse: La surface de précipitation est de 40 m².

Situation: L'entreprise a reçu le filtre fonctionnant en mode de différence constante des pressions sans documents d'accompagnement. Ses essais de filtration d'une suspension montrent que le filtre permet d'obtenir V₁ = 7,8 l du produit filtré dans τ₁ = 5 min, V₂ = 12,1 l du produit filtré est obtenu déjà dans τ₂ = 10 min.

Problème: déterminer le temps pour obtenir V₀ = 50 l du produit filtré qui sera analogique à la suspension appliquée.

Solution:

Utilisons l'équation de filtration en cas de différence constante des pressions (Δp = const):

V² + 2·[(R_fd·S)/(r_о·x_о)]·V = 2 [(∆p·S²)/(μ·r_о·x_о)]·t

Désignons comme a = (R_fd·S)/(r_о·x_о) et comme b = (∆p·S²)/(μ·r_о·x_о). Les valeurs a et b sont constantes, c'est pourquoi faisons et calculons le systèmes des équations pour les déterminer à partir des données d'expérience.

En conclusion nous trouvons que dans ce cas l'équation de filtration peut être écrite comme suit:

V²+7,06·V = 23,59·t

Utilisons la valeur obtenue V₀ pour cette équation et trouvons la valeur t qui lui correspond:

t = (50²+50·7,06) / 23,59 = 121 min

Réponse: il faut mettre 121 minutes pour obtenir 50 l du produit filtré.