Exemples de solutions des problèmes pour calculer les caractéristiques et choisir un compresseur optimal

Enoncé:

Le diamètre du piston d’un compresseur monoétagé monocylindrique à simple effet (d) = 200 mm. Le jeu du piston (s) = 150 mm. La vitesse de rotation de l’arbre du compresseur (n) = 120 tours/min. La pression appliquée à l’air comprimé à l’intérieur du mécanisme est de (P1) = 0,1 mPa jusqu'à (P2) = 0,32 mPа. Le rendement du compresseur (Q) = 0,5 m³/min. L’exposant polytropique (m) est égal à 1,3.

Problème:

Calculer le volume de gaz nuisible (Vgn) dans le cylindre.

Solution:

Calculons la section du piston (F) à l’aide de la formule ci-dessous:

F = (ϖ · d²)/4 = (3,14 · 0,2²)/4 = 0,0314 m²

Calculons également le volume (Vp) traité par le piston en une rotation:

Vp = F · s = 0,0314 · 0,15 = 0,00471 m³

Calculons le coefficient de débit (λ) en utilisant la formule du rendement du compresseur (le compresseur étant à simple effet, le coefficient (z) sera égal à 1):

Q = λ · z · F · s · n

λ = Q/(z · F · s · n) = 0,5/(1 · 0,0314 · 0,15 · 120) = 0,88

Servons-nous de la formule approchée du calcul du coefficient de débit, afin de déterminer le rendement volumétrique de la pompe:

λ = λ₀ · (1,01 - 0,02·P₂/P₁)

λ₀ = λ / (1,01 - 0,02·P₂/P₁) = 0,88 / (1,01 - 0,02·0,32/0,1) = 0,93

Déduisons de la formule du rendement volumétrique celle du volume de gaz nuisible dans le cylindre et calculons-le:

λ₀ = 1 – с·[(P₂/P₁)^1/m-1]

Où c = V_gn/V_p

V_gn = [(1-0,93) / ([0,32/0,1]^1/1,3-1)] · 0,00471 = 0,000228 m³

Ainsi, le volume de gaz nuisible dans le cylindre est égal à 0,000228 m³

Enoncé:

Les diamètres des pistons d’un compresseur monoétagé à deux cylindres à double effet (d) = 0,6 m. Les jeux des pistons (s) = 0,5 m. L’espace nuisible (с) = 0,036. La vitesse de rotation de l’arbre du compresseur (n) = 180 tours/min. Sous la température (t) de 20⁰ la pression appliquée à l’air comprimé à l’intérieur du mécanisme est de (P1) = 0,1 mPа jusqu’à (P2) = 0,28 mPа. L’exposant polytropique (m) est égal à 1,2, le rendement mécanique (ηméc) et égal à 0,95, celui adiabatique (ηаd) est égal à 0,85.

Problème:

Calculer le rendement (Q) et la puissance consommée (N) du compresseur.

Solution:

Calculons la section du piston (F) à l’aide de la formule ci-dessous:

F = (ϖ · d²)/4 = (3,14 · 0,6²)/4 = 0,2826 m²

Avant de calculer le rendement du compresseur il est nécessaire de calculer le coefficient de débit, mais trouvons d’abord le rendement volumétrique:

λ₀ = 1 – с·[(P₂/P₁)^1/m-1] = 1 - 0,036·[(0,28/0,1)^1/1,2-1] = 0,95

Ayant trouvé le rendement volumétrique, utilisons-le pour calculer le coefficient de débit selon la formule ci-dessous:

λ = λ₀ · (1,01 – 0,02·P₂/P₁) = 0,95 · (1,01 – 0,02 · 0,28/0,1) = 0,91

Calculons maintenant le rendement du compresseur (Q):

Q = λ · z · F · s · n

Le compresseur étant à double effet et à deux cylindres, le coefficient (z) sera égal à 2 et le résultat du calcul du rendement doit être multiplié par 2:

Q = 2 · λ · z · F · s · n = 2 · 0,91 · 2 · 0,2826 · 0,5 · 180 = 92,6 m³/min

Le débit massique d’air (G) est égal à , où (ρ) indique la densité d’air, qui, sous la température donnée, est de 1,189 kg/m³. Calculons-le:

G = Q · ρ = 92,6 · 1,189 = 44 kg/min

Le débit horaire sera égal à:

60·G = 60·44 = 2640 kg/h.

Afin de calculer la puissance consommée du compresseur il convient de définir le volume de travail nécessaire à exécuter pour comprimer le gaz. Trouvons-le par le biais de la formule ci-dessous:

A_comp = k/(k-1) · R · t · [(P₂/P₁)^(k-1)/k-1]

Où (k) est l’indice adiabatique qui est défini comme le rapport de ses capacités thermiques à pression constante et à volume constant (k = С_PP/C_V). Pour l’air cet indice est égal à 1,4. La constante universelle des gaz parfaits (R) est égale à 8310/M J/(kg*К), où (М) est la masse molaire du gaz. Dans le cas de l’air М est égale à 29 g/mole, tandis que R = 8310/29 = 286,6 J/(kg*К).

Mettons les chiffres reçus dans la formule du travail de compression et calculons-le:

A_comp = k/(k-1) · R · t · [(P₂/P₁)^(k-1)/k-1] = 1,4/(1,4-1) · 286,6 · (273+20) · [(0,28/0,1)^(1,4-1)/1,4-1] = 100523 J/kg

Après avoir calculé le volume de travail nécessaire à exécuter pour comprimer le gaz nous pouvons calculer la puissance consommée par le compresseur à l’aide de formule suivante:

N = (G · A_comp) / (3600 · 1000 · η_méc · η_ad) = (2640 · 100523) / (3600 · 1000 · 0,85 · 0,95) = 91,3 kW

Ainsi, le rendement du compresseur est égal à 92,6 m³/min et la puissance consommée est égale à 91,3 kW

Enoncé:

Il est nécessaire de garantir le débit de l’ammonium à la vitesse de 160 m³/h sous la pression de 4,5 mPа. La pression initiale d’azote est égale à 0,1 mPа, la température initiale est égale à – 20°C. L’indice de compression volumétrique (x) = 4.

Problème:

Déterminer le nombre d’étages de compression dans le compresseur et calculer la pression à chaque étage.

Solution:

Calculons d’abord le nombre nécessaire d’étages (n) par le biais de la formule de l’indice de compression volumétrique:

xⁿ = P_c/P_i

Calculons (n):

n = log(P_c/P_i) / log(x) = log(4,5/0,1) / log(4) = 2,75

Forçons le résultat jusqu'au nombre entier le plus proche et déterminons ainsi que le compresseur doit posséder n = 3 étages. Précisons maintenant l’indice de compression volumétrique d’un étage, en supposant que ces indices sont égaux pour chaque étage.

x = ⁿ√(P_c/P_i) = ∛(4,5/0,1) = 3,56

Calculons la pression finale du premier étage P_n1 (n = 1) qui sera également la pression initiale du deuxième étage.

P_f1 = P_i · xⁿ = 0,1 · 3,56¹ = 0,356 mPа

Calculons la pression finale du deuxième étage P_n2 (n = 2) qui sera également la pression initiale du troisième étage.

P_f2 = P_i · xⁿ = 0,1 · 3,56² = 1,267 mPа

Ainsi, le compresseur doit posséder de 3 étages. La pression au premier étage augmente de 0,1 mPа à 0,356 mPа, au deuxième étage – de 0,356 mPа à 1,267 mPа et au troisième étage – de 1,267 mPа à 4,5 mPа.

Enoncé:

Il est nécessaire de garantir le débit de l’azote Q_н à la vitesse de 7,2 m³/h avec la pression initiale de P₁ = 0,1 mPа sous la pression de Р₂ = 0,5 mPа pour un compresseur à piston monoétagé à double effet. Le diamètre du piston (d) = 80 mm. Le jeu du piston (s) = 110 mm. L’espace nuisible = 7% du volume traité par le piston. La vitesse de rotation de l’arbre du compresseur (n) = 120 tours/min. L’exposant polytropique (m) est égal à 1,3.

Problème:

Déterminer si le compresseur disponible est capable d’accomplir la tâche indiquée ci-dessus. En cas de réponse négative calculer la différence entre la vitesse de rotation de l’arbre donnée et la vitesse de rotation de l’arbre nécessaire pour qu’il devienne possible d’utiliser le compresseur indiqué.

Solution:

Etant donné que l’espace nuisible est égal à 7% du volume traité par le piston, il est évident que cet espace nuisible = 0,07.

Calculons d’abord la section du piston (F):

F = (ϖ · d²)/4 = (3,14 · 0,08²)/4 = 0,005 m²

Avant de poursuivre les calculs il est nécessaire de trouver le rendement volumétrique du compresseur (λ_v):

Λ_v = 1 – с·[(P₂/P₁)^1/m-1] = 1 – 0,04·[(0,5/0,1)^1/1,3-1] = 0,9

Utilisons λ₀ pour calculer le coefficient de débit (λ):

λ = λ_v · (1,01 – 0,02·(P₂/P₁)) = 0,9 · (1,01 – 0,02·0,5/0,1) = 0,82

Il est maintenant possible de calculer le rendement du compresseur (Q). Le compresseur étant à double effet, le coefficient (z) sera égal à 2:

Q = λ · z · F · s · n = 0,82 · 2 · 0,005 · 0,11 · 120 = 0,11 m³/min

La vitesse du débit horaire de (Q) sera égal à: Q = 0,11 · 60 = 6,6 m³/h.

Vu que la vitesse nécessaire est égale à 7,2 m³/h, nous concluons que le compresseur disponible n’est pas capable d’accomplir la tâche indiquée. Calculons la différence entre la vitesse reçue et la vitesse de rotation nécessaire pour satisfaire aux exigences indiquées dans l’énoncé. Pour ce faire calculons d’abord la vitesse nécessaire de rotation à l’aide du rapport suivant:

n_n/n = Q_n/Q

n_n = n · Q_n/Q = 120 · 7,2/6,6 = 131

Ainsi, le compresseur disponible pourra être utilisé dans le cas de l’augmentation de la vitesse de rotation de son arbre de 131-120 = 11 tours/min.

Enoncé:

Compresseur à piston à trois cylindres à double effet. Le diamètre des pistons (d) = 120 mm. Le jeu des pistons (s) = 160 mm. La vitesse de rotation de l’arbre du compresseur (n) = 360 tours/min. La pression appliquée au méthane à l’intérieur du compresseur est de (P₁) = 0,3 mPа jusqu’à (P₂) = 1,1 mPа. Le coefficient volumétrique (λ_v) est égal à 0,92.

Problème:

Calculer le rendement réel du compresseur à piston.

Solution:

Calculons d’abord la section des pistons (F) du compresseur à l’aide de la formule suivante:

F = (ϖ · d²)/4 = (3,14 · 0,12²)/4 = 0,0113 m²

Servons-nous des données de départ pour trouver le coefficient de débit (λ):

λ = λ_v · (1,01 – 0,02 ·(P₂/P₁)) = 0,92 · (1,01 – 0,02·(1,1/0,3)) = 0,86

Passons maintenant au calcul du rendement du compresseur à piston. Utilisons la formule ci-dessous:

Q = λ · z · F · s · n

Où z est le coefficient qui dépend du nombre de côtés d’aspiration d’un piston. Le compresseur indiqué dans l’énoncé étant à double effet, le coefficient (z) sera égal à 2.

En outre, vu que le compresseur indiqué est à trois cylindres, tous les trois sont mis en marche parallèlement. Ainsi, le rendement cumulé du compresseur sera trois fois plus grand que le rendement d’un piston isolé. Il est donc nécessaire d’ajouter le coefficient 3 dans la formule.

Compte tenu de l’information ci-dessus la formule utilisée sera la suivante:

Q = 3 · λ · z · F · s · n = 3 · 0,86 · 2 · 0,0113 · 0,16 · 360 = 3,6 m³/min.

Ainsi, le rendement réel du compresseur à piston analysé sera égal à 3,6 m³/min ou 216 m³/h.

Enoncé:

Nous disposons d’un compresseur à piston bi-étagé à simple effet. Le diamètre du piston de l’étage à basse pression (d_b) = 100 mm. Le jeu du piston (s_b) = 125 mm. Le diamètre du piston à haute pression (d_h) = 80 mm et son jeu (s_h) est égal à 125 mm. La vitesse de rotation de l’arbre (n) = 360 tours/min. Le coefficient de débit du compresseur (λ) = 0,85.

Problème:

Calculer le rendement du compresseur.

Solution:

Dans le cas des compresseurs à piston multiétagés les calculs sont effectués à l’aide des données de l’étage à basse pression, puisque c’est là que se passe l’aspiration initiale du gaz qui détermine le rendement du compresseur. Lors des calculs du rendement les données d’autres étages ne sont pas prises en considération, puisqu’à ces niveaux aucune aspiration complémentaire du gaz comprimé n’est effectuée. Ainsi, pour résoudre le problème il nous faut trouver uniquement le diamètre du piston de l’étage à basse pression (d_b) et son jeu (s_b).

Calculons la section du piston de l’étage à basse pression:

F_b = (ϖ · d_b²)/4 = (3,14 · 0,1²)/4 = 0,00785 m²

Le compresseur analysé n’est pas multiétagé et c’est un compresseur à simple effet (le coefficient (z) = 1), d’où suit l’aspect final de la formule utilisée pour calculer le rendement dans ce cas de figure:

Q = λ · F_b · s_b · n = 0,85 · 0,00785 · 0,125 · 360 = 0,3 m³/min

Ainsi, le rendement du compresseur à piston donné est égal à 0,3 m³/min ou, exprimé en heures, 18 m³/h.

Enoncé:

Nous disposons d’un compresseur à vis bi-rotor. La vitesse de rotation du rotor femelle (n) = 750 tours/min. Ce rotor comprend (z) = 4 canaux d’une longueur de (L) = 20 cm. La section du canal du rotor femelle (F₁) = 5,2 cm². La section du canal du rotor mâle (F₂) = 5,8 cm². Le coefficient de rendement (λ_rend) est égal à 0,9.

Problème:

Calculer le rendement réel du compresseur à vis bi-rotor (V_b).

Solution:

Avant de calculer le rendement réel trouvons celui théorique qui ne prend pas en considération les fuites imminentes du gaz par contre-courant via les interstices entre les rotors et le corps du compresseur.

V_t = L·z·n·(F₁+F₂) = 0,2·4·750·(0,052+0,058) = 66 m³/min

Connaissant le coefficient de rendement qui prend en considération les fuites du gaz à contre-courant, nous pouvons calculer le rendement réel du compresseur à vis bi-rotor donné:

V_r = λ_rend·V_t = 0,9·66 = 59,4 m³/min

Ainsi, le rendement du compresseur à vis bi-rotor donné est égal à 59,4 m³/min.

Enoncé:

Nous disposons d’un compresseur à vis destiné à augmenter la pression de l’air de (P₁) = 0,6 mPа jusqu'à P₂ = 1,8 mPа. Le rendement théorique du compresseur (V_t) = 3 m³/min. Le rendement adiabatique (η_ad) est égal à 0,76. L’indice adiabatique de l’air (k) est égal à 1,4.

Problème:

Calculer la puissance (N_п) consommée par le compresseur.

Solution:

Afin de calculer la puissance théorique de la compression adiabatique du compresseur à vis utilisons la formule ci-dessous:

N_ad = P₁ · V_t · [k/(k-1)] · [(P₂/P₁)^(k-1)/k - 1] = 600000 · 3/60 · 1,4/(1,4-1) · [(1,8/0,6)^(1,4-1)/1,4 - 1] · 10^-3 = 38,7 kW

Ayant calculé N_ad, nous pouvons maintenant calculer la puissance consommée par le compresseur à vis:

N = N_ad/η_ad = 38,7/0,76 = 51 kW

Ainsi, la puissance consommée par le compresseur à vis donné est de 50 kW.

Enoncé:

Nous disposons d’un compresseur à vis bi-rotor. Le rendement du compresseur (Q) = 10 m³/min. Le milieu actif – l’air, dont la température (t) = 20⁰ C. La pression appliquée à l’air comprimé à l’intérieur du mécanisme est de (P₁) = 0,1 mPа jusqu’à (P₂) = 0,6 mPа. L4indice des fuites par contre-courant (β_f) dans le compresseur = 0,02. Le rendement intérieur adiabatique du compresseur (η_ad) est égal à 0,8. Le rendement mécanique (η_méc) est égal à 0,95. L’indice adiabatique de l’air (k) est égal à 1,4. La constante universelle des gaz parfaits (R) est égale à 286 J/(kg*К).

Problème:

Calculer la puissance (N) consommée par le compresseur.

Solution:

Trouvons le travail spécifique du compresseur A_sp :

A_sp = R · T_i · [k/(k-1)] · [(P₂/P₁)^(k-1)/k-1] = 286 · [20+273] · [1,4/(1,4-1)] · [(0,6/0,1)^(1,4-1)/1,4-1] = 196068 J/kg

Calculons maintenant le débit massique d'air (G) supposant que la densité d’air (ρ_a) sous la température de 20°C est égale à 1,2 kg/m³ :

G = Q·ρ_a = 10·1,2 = 12 kg/min

En calculant la puissance consommée par le compresseur, il faut prendre en considération des fuites par contre-courant du milieu actif, dont la compensation nécessite une consommation complémentaire de la puissance. Calculons le débit total du compresseur (G_tot) compte tenu des fuites:

G_tot = G·(1+β_f) = 12·(1+0,02) = 12,24 kg/min

Nous pouvons maintenant calculer la puissance consommée par le compresseur compte tenu du rendement adiabatique et celui mécanique:

N = (G_tot·A_sp) / (η_ad·η_méc) = (12,24·196068) / (60·1000·0,8·0,95) = 52,6 kW

Ainsi, la puissance consommée par le compresseur donné est égale à 52,6 kW.

Enoncé:

Nous disposons d’un compresseur centrifuge à un bloc à trois étages, dont les rotors sont identiques. Le débit volumétrique du compresseur (V) = 120 m³/min d'air sous la température (t) = 20°C (la densité de l’air (ρ) dans ce cas sera égale à 1,2 kg/m³). La vitesse périphérique du rotor (u) = 260 m/sec. Le coefficient de la pression théorique d’un étage (ϕ) = 0,85. Le rendement total du compresseur (η) = 0,9. Le coefficient des pertes par frottement (β_fr) pour le premier étage est égal à 0,007. Le coefficient des pertes par fuites (β_fu) est égal à 0,009. Prendre en considération dans les calculs que pour les étages suivants les pertes augmentent de 1%.

Problème:

Calculer la puissance (N) consommée par le compresseur.

Solution:

La puissance consommée pour comprimer le gaz peut être calculée à l’aide de la formule suivante:

N_int = V · ρ · ∑[u²_i · φ_i · (1+β_fr+β_fu)_i]

Où (i) – le nombre d’étages. L’énoncé indiquant que tous les rotors d’une section sont identiques, leurs vitesses périphériques (u) et leurs coefficients de la pression théorique (ϕ) seront identiques également. La formule ci-dessus peut donc être modifiée ainsi:

N_int = V · ρ · u² · φ · ∑(1+β_fr+β_fu)_i

Pour le premier étage:

1 + β_fr + β_fu = 1 + 0,007 + 0,009 = 1,016

Prenant en considération que pour les étages suivants les pertes augmentent de 1%, calculons la valeur 1+β_fr+β_fu pour le deuxième étage:

1,016·1,01 = 1,026

Pour le troisième étage:

1,026·1,01 = 1,036

En somme:

N_int = 120/60 · 1,2 · 260² · 0,85 · (1,016+1,026+1,036) · 10^-3 = 424,5 kW

Nous pouvons maintenant calculer la puissance consommée par le compresseur:

N = N_int/η = 424,5/0,9 = 471,7 W

Ainsi, la puissance du compresseur donné est égale à 471,7 kW.

Enoncé:

Nous disposons d’un compresseur centrifuge à un bloc bi-étagé, dont les rotors sont identiques. Le compresseur traite l’air sous la température (t) = 20°C (la densité de l’air (ρ) dans ce cas sera égale à 1,2 kg/m³) et avec le débit volumétrique (V) = 100 m³/min de la pression initiale (P₁) = 0,1 mPа à la pression finale (P₂) = 0,25 mPа. La vitesse périphérique des rotors (u) = 245 m/sec. Le coefficient de la pression théorique (ϕ) = 0,82. Le coefficient total des pertes par frottement et par fuites (1+ β_fr + β_fu) pour le premier étage = 1,012, pour le deuxième étage il est égal à 1,019. Le gaz est comprimé dans le processus isentropique. L’indice adiabatique de l’air (k) est égal à 1,4. La constante universelle des gaz parfaits (R) est égale à 286 J/(kg*К). Le gaz indiqué dans l’énoncé n’est incondensable (le coefficient du compressibilité (z) = 1).

Problème:

Calculer le rendement isentropique (η_is) du compresseur.

Solution:

Le rendement isentropique est défini comme le rapport de la puissance de compression du gaz dans un processus isentropique (N_is) à la puissance intérieure de compression dans le mécanisme (N_int). Pour trouver la valeur désirée il est donc nécessaire de trouver d’abord N_int et N_is.

La puissance de compression du gaz dans un processus isentropique peut être calculée selon la formule suivante:

N_int = V · ρ · z · R · (273+t) · k/(k-1) · [(P₂/P₁)^(k-1)/k-1] =
= 100/60 · 1,2 · 1 · 286 ·(273+20) · 1,4/(1,4-1) · [(0,25/0,1)^(1,4-1)/1,4-1] · 10^-3 = 175,5 kW

Déterminons la puissance intérieure du compresseur à l’aide de la formule ci-dessous:

N_int = V · ρ · ∑[u_i² · φ_i · (1+β_т+β_п)_i] = 100/60 · 1,2 · 245² · 0,82 · (1,012+1,019) = 200 kW.

Calculons la valeur désirée:

Η_is = N_is/N_int = 175,5/200 = 0,88

Ainsi, le rendement isentropique de ce compresseur bi-étagé à un bloc est égal à 0,88.