Exemples des calculs des centrifugeuses

Examinons une partie du rotor d'une forme cylindrique, d'une longueur (L) et d'un rayon intérieur (R) où coule un liquide dont la couche est d'une épaisseur (h) avec le débit Q pour définir les caractéristiques principales de calcul d'une centrifugeuse à précipitation. Désignons par (r) le rayon intérieur d'un anneau formée du liquide. Introduisons une valeur nommée "vitesse moyenne du flux le long de l'axe du rotor" (v_ar) qui peut être présentée comme le débit volumique d'une suspension divisé par la surface d'une coupe transversale du flux qui est perpendiculaire à l'axe du rotor (F):

v_ar = Q/F = Q/(2·π·h·r_moyen)

où:
r_moyen = (R+r)/2 – rayon moyen d'une couche du liquide, m.

Puis, comme dans le cas de précipitation simple, il faut définir la vitesse de précipitation des particules de la zone la plus défavorable pour la précipitation: surface intérieure de l'anneau du liquide. Autrement dit, ce sont les particules les plus éloignées de la surface intérieure du rotor qui représente la surface de précipitation pour ces ces particules. Cette vitesse (v_r) peut être exprimée à partir de la vitesse de précipitation d'une particule analogique dans le champ des forces de gravité (v_fg) trouvée selon la loi de Stockes:

v_fg = [d²·(ρ_p-ρ_l)·g] / (18·μ)

où:
d – diamètre d'une particule, m;
ρ_p – densité d'une particule, kg/m³;
ρ_l – densité du liquide, kg/m³;
g – accélération de la gravité, m/s²;
μ – viscosité dynamique du liquide, Pa·s.

La liaison entre les vitesses de précipitation dans le champ des forces de gravité et dans celui des forces centrifuges est exercée à l'aide du nombre de Froude selon la formule:

v_r = (v_fg/g) · Fr

où:
Fr = (ω²·R)/g – nombre de Froude;
ω – vitesse angulaire du rotor, s^-1.

Comme dans le cas de précipitation habituelle, la condition d'une séparation complète d'une phase dispersée représente aussi l'équation du temps de précipitation des particules les plus éloignées des parois latérales (t_pr) et du temps de leur séjour dans une centrifugeuse (t_sej):

t_pr = t_sej

Cette équation peut être réécrite comme suit:

L/v_pr= h/v_r

Continuons le remplacement des variables selon les équations déterminées précédemment:

(L·2·π·h·r_moyen)/Q = (h·g)/(v_fg·Fr)

D'habitude l'épaisseur d'une couche du liquide dans les centrifugeuses est petite, c'est pourquoi il est possible de dire que R = r_moyen. Alors il est possible de faire ce remplacement où F est la surface de précipitation d'une centrifugeuse. Donc, nous pouvons faire une équation de débit d'une centrifugeuse de précipitation:

Q = (F·v_fg·Fr)/g

Pourtant, dans la pratique il existe souvent beaucoup de facteurs qu'il est très difficile de prendre en considération lors du calcul des centrifugeuses; néanmoins, ces facteurs peuvent exercer une influence importante, c'est pourquoi on ajoute le coefficient β qui prend en considération ces facteurs spécifiques pour chaque cas dans l'équation  pour Q:

Q = β·[(F·v_fg·Fr)/g]

La valeur F·Fr est remplacée souvent par la valeur Σ (coefficient de capacité). Les essais montrent que le coefficient de capacité dépend aussi du mode de coulée d'un liquide:

Σ = F·Fr – laminaire;
Σ = F·Fr^0,73 – transitif;
Σ = F·Fr^0,5 – turbulent.

Il s'en suit que le mode de coulée le plus préférable assurant le plus grand coefficient de capacité est le mode laminaire.

Comme dans le cas des centrifugeuses de précipitation, le calcul des centrifugeuses de filtration a une série de règles communes avec le calcul des filtres basées sur le principe commun de fonctionnement, mais la réalisation de ce processus dans le champ des forces centrifuges explique les différences.

Une équation commune pour définir la capacité théorique de production des centrifugeuses est représentée comme suit:

Q = a·Σ

où:
Q – capacité de production d'une centrifugeuse, m³/s;
a – coefficient de correction qui dépend du type d'une centrifugeuse (ce coefficient est remplacé pour une centrifugeuse de filtration par une valeur constante de filtration k définie par voie d'essais);
Σ – coefficient de capacité.

Le coefficient de capacité pour une centrifugeuse est calculé comme suit:

Σ = F_moyen·K_moyen

où:
F_moyen = 2·π·L·(R+r) – surface moyenne de séparation, m²;
L – longueur du tambour, m;
R – rayon intérieur du rotor d'une centrifugeuse, m;
r – rayon intérieur d'un anneau de suspension dans une centrifugeuse, m;
K_moyen = [ω²·(R+r)] / [2·g] – coefficient moyen de séparation d'une centrifugeuse;
ω – vitesse angulaire du rotor d'une centrifugeuse, s^-1;
g – accélération de la gravité, m/s.

Mais la capacité réelle de production est souvent plus petite que celle théorique à cause de ces facteurs que le glissage dune couche du liquide par rapport au tambour d'une centrifugeuse etc. Le coefficient de correction (ζ) nommé le coefficient d'efficacité est introduit dans l'équation de débit d'une centrifugeuse de filtration pour prendre en considérations ces facteurs. Donc, l'équation définitive est représentée comme suit:

Q = ζ·a·Σ

Le calcul de débit des centrifugeuses de filtration à fonctionnement intermittent est réalisé selon une autre formule:

Q = a·√t_serv·V_serv·Σ

où:
a – coefficient de correction qui caractérise la résistance du dépôt;
t_serv – temps de service de l'amenée d'une suspension, s;
V_serv = π·L·(R²-r²) – volume de service du tambour, m³.

Pour atteindre la capacité moyenne maximale d'une centrifugeuse de filtration la valeur t_serv est prise d'habitude en tant qu'égale à une somme de temps dépensé pour les processus de centrifugation (t_centr) et de décharge du dépôt (t_dd):

t_serv = t_centr+t_dd

En calculant la puissance des centrifugeuses il faut séparer la puissance de démarrage (N_dém) et la puissance lors de la période de fonctionnement (N_pf). La puissance de démarrage comprend les valeurs suivantes:

N_dém = N_start+N_roul+N_air [kW]

où:
N_start – puissance d'une centrifugeuse au départ, W; 
N_roul – puissance dépensée pour les pertes dans les roulements, W;
N_air – puissance dépensée pour le frottement du tambour sur l'air, W.

La puissance lors de la période de fonctionnement comprend les valeurs suivantes:

N_dém = N_l+N_s+N_roul+N_air ; [kW]

où:
N_l – puissance d'une centrifugeuse dépensée pour la transmission de l'énergie cinétique à une phase liquide de la suspension, W;
N_s – puissance d'une centrifugeuse dépensée pour la transmission de l'énergie cinétique à une phase solide de la suspension, W.

La puissance dépensée au départ d'une centrifugeuse prend en considération tous les moments de l'inertie qui apparaissent au départ:

N_start = (I·ω²) /(2·10³·t_dém); [kW]

où:
I – moment total de l'inertie du rotor et de la charge par rapport à l'axe de rotation, kg m²;
ω – vitesse angulaire du rotor d'une centrifugeuse, s^-1;
t_dém – temps de démarrage d'une centrifugeuse, s.

La puissance perdue à cause de frottement dans les roulements:

N_roul = [f·ω·Σ(P·d)] / [2·10³]; [kW]

où:
f – coefficient de frottement dans les roulements;
Σ(P·d) – somme des produits des charges dynamiques sur les roulements (P, Н) sur les diamètres concernés des arbres (d, m).

La puissance perdue à cause de frottement du tambour sur l'air:

N_air = 12·10^-6·ρ_air·R_moyen·ω²; [kW]

où:
ρ_air – densité de l'air, kg/m³;
R_moyen – rayon extérieur moyen du rotor, m.

Exemple - 1
Choix et calcul de la capacité de production d'une centrifugeuse

Situation: Il existe une centrifugeuse de précipitation qui est capable de développer une vitesse angulaire ω = 600 t/min en mode de fonctionnement. Les paramètres du tambour: rayon intérieur R = 300 mm, longueur L = 500 mm. La centrifugeuse est utilisée pour clarifier une eau et libérer des particules solides en suspension d'un diamètre de d_part = 0,5 mm et d'une densité de ρ_s = 2100 kg /m³. Prendre la viscosité dynamique comme μ = 0,001 Pa·s, la densité ρ_l = 1000 kg/m³ lors de la résolution de ce problème.

Problème: Il faut calculer la capacité de production Q de cette centrifugeuse.

Solution: La valeur demandée peut être calculée selon une formule:

Q = (F·v_fg·Fr) / g

La valeur v_fg est une vitesse de précipitation d'une particule dans le champ des forces de gravité qui peut être définie comme suit: (g = 9,81 m/s – accélération de la gravité):

v_fg = [d_part²·(ρ_s-ρ_l)·g] / [18·μ] = [0,0005²·9,81·(2100-1000)] / [18·0,001] = 0,15 m/s

La surface de précipitation du tambour F peut être définie à partir de ses caractéristiques géométriques selon une formule:

F = 2·π·R·L = 2·3,14·0,3·0,5 = 0,942 m2

Fr – nombre de Froude qui caractérise la liaison des vitesses de précipitation d'une particule dans le champ des forces centrifuges et de gravité:

Fr = (ω²·R) / g = ((600/60)²·0,3) / 9,81 = 30,58

D'où vient la vitesse de précipitation d'une particule dans le champ des forces centrifuges:

v_centr = (v_fg/g)·Fr = (0,15/9,81)·30,58 = 0,47 m/s

La valeur F·Fr est remplacée d'habitude par Σ (coefficient de capacité) dont la valeur peut être précisée en fonction du mode de précipitation d'une particule qui est défini à son tour par la valeur du critère de Reynolds:

Re = (ρ_l·v_centr·d_part) / μ = (1000·0,47·0,0005) / 0,001 = 235

La valeur obtenue Re est dans la limite de 2<Re<500, donc, le mode de précipitation est transitif pour lequel la formule précisée du coefficient de capacité est représentée comme suit:

Σ = F·Fr^0,73 = 0,942·30,58^0,73 = 11,44

Appliquons ces données pour une équation initiale et calculons une valeur demandée:

Q = (F·v_fg·Fr)/g = (v_fg/g)·Σ = (0,15/9,81)·11,44 = 0,17 m³/s.

Réponse: la capacité de cette centrifugeuse est de 0,17 m³/s.

Problème № 2
Calcul de la puissance de démarrage d'une centrifugeuse de filtration

Situation: Il existe une centrifugeuse de filtration où se passe la séparation d'une suspension avec une densité de ρ_susp = 1100 kg/m³. La tambour d'un poids de m_tam = 200 kg a un rayon intérieur R = 0,5 m, une épaisseur d'une paroi b = 0,005 m, une longueur L = 0,4 m. Le chargement initial du tambour est de 50% de son volume intérieur. Le temps de sortie de cette centrifugeuse à la vitesse de fonctionnement: t_séj = 7 s. La vitesse angulaire de cette centrifugeuse: ω = 1000 t/min. Prendre la densité de l'air ρ_air comme 1,3 kg/m³, le coefficient de frottement dans les roulements comme f = 0,05 lors des calculs. Le diamètre du pivot de l'arbre est d_piv = 80 mm.

Problème: Il faut calculer la puissance de démarrage N_dém.

Solution: La puissance de démarrage (N_dém) représente la somme de la puissance dépensée pour les pertes dans les roulements (N_roul), de la puissance dépensée pour le frottement du tambour sur l'air (N_air) et de la puissance dépensée pour dépasser l'inertie au départ (N_start):

N_dém = N_roul+N_air+N_start

Pour définir la puissance dépensée pour les pertes dans les roulements il faut utiliser une formule basée sur le poids des parties en rotation de la centrifugeuse. Admettons que ce sont le tambour et le poids d'une suspension chargée qui participent au mouvement rotatif:

N_roul = f·g·M·v_r

М – poids total des parties en rotation de la centrifugeuse. Le poids du tambour est déjà connu et il reste à définir le poids d'une suspension chargée initialement. Comme le chargement initial du tambour est de 50%, il est possible de définir le poids d'une suspension chargée m_susp en trouvant le volume de chargement et en multipliant par la valeur de densité:

m_susp = 0,5·2·π·R·L·ρ_susp = 0,5·2·3,14·0,5·0,4·1100 = 691 kg

Donc, le poids total est de:

M = m_tam+m_susp = 200+691 = 891 kg

La vitesse circulaire du pivot v_piv est définie selon la formule:

v_piv = ω·d_piv/2 = (1000/60)·(0,08/2) = 0,66 m/s

Calculons une valeur de la puissance N_roul :

N_roul = f·g·M·v_r = 0,05·9,81·891·0,66 = 288,4 W

Calculons une valeur de la puissance N_air en prenant en considération que le rayon extérieur du tambour est R_ext = R+b::

N_air = 0,012·ρ_air·R_ext·ω² = 0,012·1,3·(0,5+0,005)·(1000/60)² = 2,2 W

Calculons une valeur de la puissance N_start en admettant que tout le poids en rotation est concentré sur le rayon intérieur du tambour R, donc, le moment total de l'inertie peut être présenté comme I = M·R²::

N_start = (I·ω²)/(2·t_dém) = (M·R²·ω²)/(2·t_dém) = (891·0,5²·(1000/60)²)/(2·7) = 4419,6 W

Donc, il est possible de définir une valeur demandée:

N_dém = N_roul+N_air+N_start = 288,4+2,2+4419,6 = 4710,2 W

Réponse: La puissance de démarrage est 4,71 kW.